حل فعالیت صفحه 35 ریاضی هشتم

هر سه دانش‌آموز با روشی متفاوت و صحیح، خطی موازی با خط $d$ رسم کرده‌اند. - **روش اول (شکل سمت چپ):** این دانش‌آموز از مفهوم **شیب خط** استفاده کرده است. او مشاهده کرده که برای رفتن از یک سر خط $d$ به سر دیگر آن، باید $۷$ واحد به راست و $۳$ واحد به بالا حرکت کرد. سپس، با شروع از نقطه‌ای جدید، همین حرکت ($۷$ واحد راست و $۳$ واحد بالا) را تکرار کرده و خط موازی را رسم نموده است. خطوطی که شیب یکسان دارند، با هم موازی هستند. - **روش دوم (شکل وسط):** این دانش‌آموز از تعریف خطوط موازی یعنی **حفظ فاصله ثابت** استفاده کرده است. او دو نقطه روی خط $d$ را انتخاب کرده و از هر کدام به یک فاصله عمودی یکسان (مثلاً ۲ واحد) به بالا حرکت کرده است. با وصل کردن این دو نقطه جدید، خطی موازی با خط $d$ به دست آورده است. - **روش سوم (شکل سمت راست):** این دانش‌آموز از یک ابزار ساده یعنی **خط‌کش** استفاده کرده است. از آنجایی که دو لبه یک خط‌کش استاندارد با هم موازی هستند، او یک لبه خط‌کش را بر خط $d$ منطبق کرده و از لبه دیگر آن برای رسم خط جدید استفاده کرده است.

این تمرین به بررسی سه قضیه مهم در مورد خطوط موازی و عمود می‌پردازد. - **الف) دو خط عمود بر یک خط:** - **قضیه:** اگر دو خط مختلف بر یک خط سوم عمود باشند، آن دو خط با یکدیگر **موازی** هستند. - **رابطه:** $ (a \perp b \text{ و } a \perp c) \implies b || c $ - **ب) اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود شود:** - **قضیه:** اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر خط دیگر نیز **عمود** است. - **رابطه کامل شده:** $ (g || h \text{ و } k \perp h) \implies k \perp g $ - **ج) دو خط موازی با یک خط:** - **قضیه:** اگر دو خط مختلف با یک خط سوم موازی باشند، آن دو خط با یکدیگر نیز **موازی** هستند (خاصیت تعدی). - **رابطه کامل شده:** $ (d || e \text{ و } d || f) \implies e || f $

**الف) علامت‌گذاری ضلع‌های موازی:** برای علامت‌گذاری، روی دو ضلع موازی $AB$ و $DC$ یک علامت فلش یکسان قرار می‌دهیم. سپس روی دو ضلع موازی دیگر یعنی $AD$ و $BC$ یک علامت فلش دوتایی قرار می‌دهیم تا از جفت اول متمایز شوند. **ب) تکمیل جاهای خالی:** با توجه به خاصیت خطوط موازی و مورب، روابط صحیح بین زوایا به شرح زیر است. (توجه: رابطه‌ای که در صورت سوال به عنوان نمونه آورده شده از نظر هندسی نادرست است. پاسخ‌های زیر بر اساس اصول صحیح هندسی نوشته شده‌اند.) - **اگر $AB||DC$ و مورب $BC$ باشد:** - زوایای متبادل داخلی برابرند: $ \hat{B}_۲ = \hat{C}_۱ $ - زوایای داخلی یک طرف مکمل‌اند: $ \hat{B} + \hat{C} = ۱۸۰^\circ $ - **اگر $AD||BC$ و مورب $AB$ باشد:** - زوایای متبادل داخلی برابرند: $ \hat{A}_۲ = \hat{B}_۱ $ (با امتداد دادن اضلاع) - زوایای داخلی یک طرف مکمل‌اند: $ \hat{A} + \hat{B} = ۱۸۰^\circ $ - **اگر $AD||BC$ و مورب $DC$ باشد:** - زوایای متبادل داخلی برابرند: $ \hat{D}_۱ = \hat{C}_۲ $ - زوایای داخلی یک طرف مکمل‌اند: $ \hat{D} + \hat{C} = ۱۸۰^\circ $